1+2+3+4+…= -1/12!?

Scienceville

數學世界並不如一般人想象中的理性、不可抗逆。相反,很多表面上合理的論証,卻會引申出非常荒謬的結論。

其中一個我十分喜愛的算式如下:

itoinfinity

最先論証這個看似荒謬的算式的人是印度著名數學家斯里尼瓦瑟.拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan)。他提出的論証中牽涉到冪級數 (Power Series) 的運用。因此,我將會用一個比較易懂的方法,嘗試去証明這條算式是正確的。
s1ands2

首先設以上三項算式為S1、S2及S。

S1的答案比較易懂,從算式中可見,S1必定為 1 這兩個可能答案:

s1

我們取 1 的平均數 1/2 為S1的答案 (假如取其平均數這做法令你感到很不安的話,事實上我有另一個論証方法可以証明 1/2 是最合理並最接近的答案,容後分解)。

然後將S2乘 2 ,算式如下:

s2times2

兩列算式的數字各自相加後得出的結果如下:

2s2equals1

很眼熟吧?沒錯,從以上計算中可以歸納出 2 x S2 = S1

而由於S1 = 1/2,代入以上算式可以得出 S2 = 1/4

之後,我們進行 S – S2 這一操作,運算過程如下:

sminuss2

奇妙的事情就在這裡開始發生了。剛才我們証明了S2 = 1/4,因此

S – 1/4 = 4*S

3*S = -1/4

S = -1/12

亦即証明:

itoinfinity

難以致信吧?假如你無法接受這個違反常識,卻又看似合理的論証結果,我可以很榮幸地告訴你,

你的質疑是非常合理。

因為上述所有推算過程中都犯下了一個數學世界的禁忌,就是嘗試對無限 (Infinity) 進行操作。

真相是,無限本身是一個概念,而不是一個數字。因此,假如一意孤行地對無限進行加減乘除等操作時,便會出現如上述般荒誕的結果,就像整個數學系統當機了一樣。

不過,並非所有無限都是不可操作的。例如收斂級數 (Convergent Series) 便是一個有求和答案的無窮數列。

(credit: Numberphile)

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Author: mathtuition88

http://mathtuition88.com

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