**数学中代数的有两个名词：环，半群，请问环为什么叫做环，它和汉字里的环（字典中的意思）有什么相同之处；同样，半群为什么叫做半群，这个”半“字是怎么解释呢？**

[葛利流，数学科技]

**(I) 环和域**

环 (Ring) 是德文, 这名词是David Hilbert发明的。

“环”最好的例子: 整数(Integer) 记作 Z (德文Zahl) 是个环。 他研究 Clock Arithmetic 时钟 是个 Modular Arithmetic (Mod 12)运算, 比如 15 = 3 mod 12

…

钟表上的整数 Z 数字 排成 一个钟的环状, 故称 此数是 “Zahl Ring” 整数 “环”。

Hilbert 的得意女弟子 Emile Noether 把 环论 发扬光大, 创造 “Noether Ring”。

如果 把 “12” 变成 任一素数 p , “环”就升级成”域” (Field) – 除了有环的( + – *) 运算, 还可以 (÷)。

Hilbert 发现 “环”有个重要性质是含有 “理想” (Ideal) – 理想 * 任何”外面”的东西 还回来”里面”。

例子: Z Ring 里有 “0”, 2Z, nZ…

0 * 任何Z数 => 回来 “0家族里面”

偶数 2 * 任何Z数 => 回来” 偶数 (2Z)家族里面”

…

大名鼎鼎的中国古代算术”韩信点兵”就是 含有 “环 和理想”的理论。

**(II) 群 Group / 半群 Semi-Group / 幺半群MonoId**

Group 群 有4个性质 C.A.N.I.

C: Close 封闭性

A: Associative 连续性

N: Neutral (or Identity = Id) 幺元

I: Inverse 逆元

Semi-Group 半群 只有2个性质: C.A.

Monoid 么半群 : C.A. + N (= Id) => Mono + Id